BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan?.

Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun. Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Jurusan S1 Manajemen STIE Satya Dharma Singaraja, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan.

B. Rumusan masalah

1) Jelaskan operasi-operasi pada himpunan ?

2) Sebutkan hukum- hukum aljabar himpunan ?

3) Bagaimana prinsip inklusi dan ekskulusi ?

4) Bagaimanakah Argument dan Diagram Venn itu?

C. Tujuan

1) Untuk mengetahui operasi- operasi terhadap himpunan ?

2) Untuk mengidentifikasi hukum-hukum aljabar himpunan ?

3) Untuk mengetahui bagaimana prinsip inklusi dan eksklusi

4) Untuk mengetahui bagaimanakah Argument dan Diagram Venn itu?

BAB II

PEMBAHASAN

1. Operasi- operasi pada himpunan

a. Gabungan

DefinisiGabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan Aatau himpunan B.

Notasi : A ÈB = { x | x ÎA atau x Î B}

Contoh :

(i) Jika A= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

b. Irisan

Definisi Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunana B.

Notasi : A Ç B= { x | x Î Adan x Î B}

Contoh :

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka AÇ B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya: A// B

c. Komplemen

Definisi Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : = { x | x Î U, x Ï A}

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = maka A^c = {1, 2, 3 ,4,5,6,7,8,9}

d. Selisih

DefinisiSelisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x |x ÎA dan x Ï B } = A Ç

Contoh :

i. Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A– B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A=

ii. {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup

Definisi Beda Setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A dan B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh :

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh : Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P= himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

Ø “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ÇQ

Ø “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

Ø “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)

f. Perkalian kartesius

DefinisiPerkalian kartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya sama pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan kedua dari himpunan B.

Notasi: A´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

Contoh :

Ø Misalkan C ={ 1, 2, 3 },dan D ={ a, b }, maka
C´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

Ø Misalkan A = B= himpunan semua bilangan riil, maka
A´ B = himpunan semua titik di bidang datar.

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh di atas, D´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

1. Jika A= Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ

Contoh : Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m= mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas.

Jawab:

½A ´B½ = ½A½×½B½= 4 ×3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a). P(Æ) (b). Æ ´P(Æ) (c). {Æ}´P(Æ) (d). P(P({3}))

Penyelesaian:

(a) P(Æ) = {Æ}

(b) Æ´P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´B = Æ)

(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }

2. HUKUM ALJABAR HIMPUNAN

Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.

1. Hukum identitas: A = A A U = A	2. Hukum null/dominasi: A = A U = U
3. Hukum komplemen: A = U A =	4. Hukum idempoten: A A = A A A = A
5. Hukum involusi: = A	6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A	8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan: = =
11. Hukum 0/1 = U = Æ

Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator menggantikan L (dan) , sedangkan operator menggantikan V ( atau ).

3. Prinsip inklusi dan eksklusi

Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A | . karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau

|A| + B | - |A |

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:

v Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |

v Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka berhingga dan |A| + B | - |A |

v Dengan cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup |A| + B | - 2 |A |.

Ø Contoh :

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5

Penyelelsaian :

Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5

A himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).

Ø Yang ditanyakan adalah

Terlebih dahulu kita harus menghitung

|A| = [100/3] = 33 | B | = [100/5]= 20 |A | = [100/15] = 6

Untuk mendapatkan

|A| + B | - |A | = 33 + 20 – 6 = 47

· Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .

Prinsip inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:

v Teorema 2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka berhingga dan

v Sedangkan untuk empat buah himpunan maka

|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| – |B ∩ C| – |B ∩ D| – |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D |– |A ∩ B ∩ C ∩ D|

v Contoh :

Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879 orang mengambil kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?

Penyelesaian :

Misalkan :

I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.

P =himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.

J = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.

Maka ,

|I | = 1232 |P | = 879 |J| = 114 | I P | = 103

| IJ| = 23 | P J | = 14 dan |I ∪ P∪ J| = 2092

Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan

|I ∪ P∪ J| = |I | + |P | + |J| - | I P | -| IJ| -| P J | + |I P J|

2092 = 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14 + |I P J|

Sehingga |I P J| = 7

Jadi ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris , perancis dan jerman

4. Pembuktian proposisi himpunan,

Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity), misalnya A (B C) = (A B) (A C) adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B = dan (B C), maka selalu berlaku bahwa A

Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.

1. Dengan diagram venn

Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima.

2. Pembuktian dengan tabel keanggotaan

Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan true dan false).

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama , maka kesamaan tersebut benar.

A	B	C	BC	A (BC)	AB	AC	(AB) (AC)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

3. Pembuktian dengan aljabar himpunan

Aljabar himpunan mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan , termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas.

Contoh :

Misalkan A dan B himpunan . buktikan bahwa A (B -A) = A

Penyelesaian :

A (B -A) = A (B A^c) definisi operasi selisih

= (A B) (A A^c) hukum distributif

= (A B) hukum komplemen

= A B hukum identitas

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan , tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( ).

Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X Y adalah sebagai berikut:

1. Ambil sembarang x X

2. Dengan langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x Y

Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X , maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau X Y.

Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui 2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X Y dan Y X.

5. Pembuktian dengan menggunakan sifat keanggotaan.

Contoh :

Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?

x ∈A ∪ (B ∩ C)

⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)

⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

(hukum distributif untuk logika matematika)

⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)

⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

5. Argument dan diagram venn

Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.

Contoh :

Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :

S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya

S2 : Setiap raja merupakan orang kaya

S3 : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya

Kita hendak menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn.

Himpunan guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).

Gambar 1-13

Dari sini dapat kita putuskan bahwa konklusi "Tidak ada guru yang merupakan orang kaya" adalah valid. Demikian pula konklusi "Tidak ada seorang pun guru yang juga raja".

Konklusi "Raja tenteram hidupnya" adalah tidak valid.

Ø Tulis dalam tabular-form :

(i) A = {x | x² = 4}

(ii) B = {x | x - 4 = 5}

(iii) C = {x | positif, x negatif}

(iv) D = {x | x huruf pada kata "malam"}

Penyelesaian :

(i) A ={-2, 2}

(ii) B = {9}

(iii) C = 0

(iv) D= {m, a, 1}

Ø Tulis dalam set-builder form :

(i) A berisi huruf-huruf a, b, c, d, e

(ii) B a {2,4,6,8, . . . }

(iii) C berisi propinsi-propinsi di Pulau Jawa.

(iv) D = {5}

Penyelesaian :

(i) A = {x | x adalah huruf dalam abjad sebelum f} = {x I x adalah lima huruf pertama dalam abjad}.

(ii) B = {x | x adalah bilangan genap positif}.

(iii) C = {x | x adalah propinsi, x terletak di Pulau Jawa}.

(iv) D = {x | x - 3 = 2} = {x I 3x = 15}.

Ø Dari himpunan-himpunan berikut, mana yang berhingga ?

(i) Hari di dalam satu minggu.

(h) {1,2,3,...,99,100}.

(iii) {x I x genap}.

(iv) orang yang hidup di bumi ini.

Penyelesaian :

(i), (ii) maupun (iv) adalah berhingga (meskipun kita sukar menghitung jumlah orang-orang di bumi ini; tetapi jumlah tersebut berhingga), sedangkan (iii) tidak berhingga.

Ø Yang mana dari himpunan-himpunan ini, merupakan himpunan yang sama ?

(i) {x | x adalah huruf di dalam kata "tempat"}.

(ii) Himpunan dari huruf-huruf di dalam kata "empat".

(iii) {x | x adalah huruf di dalam kata "tempa"}.

(iv) Himpunan dari huruf-huruf t, e, m, p dan a.

Penyelesaian :

Kalau himpunan-himpunan di atas kita tulis dalam tabular-form jelas terlihat bahwa ke-4 himpunan di atas sama yaitu (a, e, m, p, t).

Ø Yang mana dari himpunan-himpunan ini, merupakan himpunan hampa ?

i. A = {x | x adalah huruf sebelum a di dalam abjad}.

ii. B = (x | x = 9 dan 2x = 4}

iii. = {x | x * x}.

iv. D= {x | x + 8 = 8}.

Penyelesaian :

(i) Karena a adalah huruf pertama di dalam abjad maka himpunan A tidak mempunyai elemen, jadi A = 0.

(ii) Tidak ada bilangan yang memenuhi kedua persamaan x = 9 dan 2x = 4. jadi B = 0.

(iii) Setiap objek adalah bukan dirinya sendiri. Jadi C adalah hampa.

(iv) Bilangan 0 (nol) memenuhi persamaan x + 8 = 8. Jadi D tidak hampa. D={0}.

Ø Bagaimanakah cara kita untuk menunjukkan bahwa himpunan A bukan himpunan bagian dari suatu himpunan B ?

Buktikan bahwa A = {2,3,4,5} bukan himpunan bagian dari B = {x Ix

ganjil}.

Penyelesaian :

Kita perlu menunjukkan bahwa paling sedikitnya satu elemen dari A tidak termasuk B. Karena 2 € A tetapi 2 B maka A B.

Ø Misalkan V = {d}, W = {c,d}, X = {a,b,c}, Y = {a,b} dan Z = {a,b,d}. Apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini benar ?

(i) Y X

(ii) W Z

(iii) W V

(iv) Z V

(v) V Y

(vi) V X

(vii) V X

(viii) Y Z

(ix) X = W

(x) W Y

Penyelesaian :

(i) Karena setiap elemen dari Y adalah elemen dari X maka Y X adalah benar.

(ii) Benar.

(i) Karena setiap elemen dari V (dalam hal ini hanya satu yaitu d) adalah elemen dari W maka W V, maka pernyataan salah.

(ii) d V juga Z jadi Z V, benar.

(iii) d V tetapi Y, jadi V Y, benar.

(iv) d V tetapi X, jadi V X, maka pernyataan salah.

(v) a Y dan a Z, b Z, maka Y G, jadi pernyataan salah.

(vi) Salah

(vii) c W tetapi c Y, jadi W Y, maka pernyataan salah.

Penyelesaian :

(i) Maksudnya suatu himpunan yang elemennya suatu himpunan pula, yang elemennya adalah 2 serta 3.

(ii) A adalah suatu himpunan yang elemennya 3, himpunan {4,5} serta 4. Jadi: (a) {4,5} c A adalah salah, karena {4,5} adalah elemen A. Sedangkan (b), (c), (d) dan (f) benar, (e) salah.

Ø Diketahui himpunan semesta U = {a,b,c d,e}, A = {a,b d}, B = {b,d,e}.

Tentukan: (i) A B, (ii) B A, (iii) B', (iv) B - A, (v) A' B, (vi) A U B', (vii) A' B', (viii) (A B)', (ix) B' - A', (x) (A B).

Penyelesaian :

(i) A B= {a,b,d,e}.

(ii) B A = {b,d}.

(iii) B' = (U - B = {a,c}.

(iv) B - A={e}.

(v) A' = U - A = {c,e}.

Jadi A' B = {e}.

(vi) A B' = {a,b,c,d}.

(vii) A' B' = {c}.

(viii) (A B)' = U - (A B) = {a,c,e}.

(ix) B' - A' = {a}.

(x) (A By = U - (A U B) = {c}.

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Ada beberapa hal yang bisa disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya yaitu:

a. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

b. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

c. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

d. Dengan mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.

2. Saran

Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, Robert B., Proving Programs Correct, John Wiley & Sons, 1979.

Azmoodeh, Manoochehr, Abstract Dua Types and Algorithms, Macmillan Education, 1988.

Brassad, Gilles & Paul Bratley, Algorithmics, Theory and Practice, Prentice Hall, 1988

Johnsonbaugh, Richard, Discrete Mathematics, , Pentice Hall, 1997

Lipschuts,S; Silaban, P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.

Rosen, Kenneth H., Discrete Mathematics ang Its Applications, , McGraw-Hall Internatiol 1994

Kumpulan Makalah

Contoh Makalah Matematika Tentang Operasi-operasi Himpunan

Contoh : Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m= mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

0 Response to "Contoh Makalah Matematika Tentang Operasi-operasi Himpunan"

Post a Comment